Код

#статьи

9 янв 2024
0

Как работать с библиотекой SymPy в Python

Сессия близко! Знакомимся с мощным инструментом для решения диффуров, интегралов и матриц.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Марина Демидова

Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

При решении математических и инженерных задач часто требуется провести аналитические вычисления: найти производную или интеграл, решить систему уравнений или упростить математическое выражение. Сделать это средствами стандартной библиотеки Python довольно тяжело — придётся написать много сложных математических функций.

Но зачем, если к проекту можно подключить SymPy? Вот о ней далее и поговорим.

Из этой статье вы узнаете:

что такое SymPy;
как её установить;
какие у неё есть функции;
как в SymPy решать уравнения и системы уравнений;
что она позволяет делать с матрицами;
как визуализировать вычисления.

Что такое SymPy

SymPy — это бесплатная библиотека для символьных вычислений на языке Python. В символьных вычислениях компьютер работает с уравнениями и выражениями как с последовательностью символов, тогда как в численных оперирует приближёнными числовыми значениями.

По сравнению с другими Python-библиотеками для математических вычислений, такими как SageMath и CasADi, у SymPy есть ряд преимуществ.

Работа с символьными вычислениями. Как уже было сказано выше, SymPy работает с математическими выражениями и формулами как с последовательностью символов, а не чисел. Это повышает точность математических операций и позволяет сформулировать результаты вычислений в аналитическом виде (с помощью формул, системы выражений и так далее).

Поддержка различных разделов математики: геометрии, тригонометрии, логики и других. В SymPy есть функции для алгебраического упрощения выражений, решения уравнений, дифференцирования, интегрирования, манипуляции с полиномами и матрицами и многое другое.

Лёгкая интеграция с другими библиотеками Python, такими как NumPy и Matplotlib. Вы можете комбинировать символьные вычисления с численными и визуализировать их без предварительной настройки.

Как установить SymPy

Перед тем как начать работу с библиотекой, установите Python на компьютер. Затем откройте терминал или командную строку и установите SymPy с помощью pip:

pip install sympy

Подождите, пока процесс завершится. Откройте редактор кода или IDE и проверьте установку:

import sympy
print(sympy.__version__)

Если видите на экране номер версии SymPy, значит, библиотека установлена правильно.

Если работаете в среде Anaconda, то для установки библиотеки введите в командной строке следующее:

conda install —c anaconda sympy

Основные функции SymPy

Все функции библиотеки подробно описаны в документации. Мы же пройдёмся по самым часто используемым.

Создание символьных переменных и выражений

Символьные переменные создаются с помощью функции symbols():

from sympy import symbols
# Создаём символьные переменные x, y, z
x, y, z = symbols('x y z')

Аргумент функции — строка с символами, которые станут именами переменных в выражении. В нашем примере x, y, z — это символьные переменные. Обратите внимание: их имена задаются одной строкой через пробел.

Символьные выражения создаются путём комбинирования символьных переменных и арифметических операций:

from sympy import symbols


# Определение символьных переменных
x, y, z = symbols('x y z')


# Создание символьного выражения
expr = x**2 + 2 * y − z

Этот код создаёт символьные переменные x, y, z и содержащее их символьное выражение expr. Теперь expr можно упрощать, дифференцировать, интегрировать и далее по списку.

Внимание! Здесь и далее символы ** означают операцию возведения в степень.

Арифметические операции. Библиотека SymPy поддерживает основные арифметические операции с символьными выражениями:

from sympy import symbols


x, y, z = symbols('x y z')


# Сложение
expr_sum = x + y + z


# Вычитание
expr_diff = x − y


# Умножение
expr_mul = x * y


# Деление
expr_div = x / y


# Возведение в степень
expr_power = x**2


# Комбинированные операции
expr_combined = (x + y)**2 / (z - 1)

Математические константы используются в символьных выражениях для упрощения записи. Разберём несколько из них.

Пи (π) — отношение длины окружности к её диаметру:

from sympy import pi, symbols


# Создание символьной переменной
x = symbols('x')


# Использование константы π
expr_pi = pi * x

Бесконечность (∞) обозначается двумя символами — oo:

from sympy import oo, symbols


# Создание символьной переменной
x = symbols('x')


# Использование бесконечности
expr_infinity = x / oo

Подстановка. С помощью subs() можно подставлять числа в символьные переменные, чтобы получить значение выражений в конкретных точках:

from sympy import symbols


# Создание символьных переменных
x, y, z = symbols('x y z')


# Создание символьного выражения
expr = x + y**2 - z


# Подстановка значений
result = expr.subs({x: 2, y: 3, z: 1})
print(result) # 10

В этом примере команда expr.subs({x: 2, y: 3, z: 1}) заменяет x на 2, y на 3 и z на 1 в выражении expr.

Функцию subs() также можно использовать для подстановки символьных выражений:

from sympy import symbols, sin, pi


x, y = symbols('x y')


expr = x + sin(y)


# Подстановка символьного выражения pi/2
result = expr.subs({x: 2, y: pi/2})  


print(result) # 3

Здесь expr.subs({x: 2, y: pi/2}) заменит x на 2, y — на символьное выражение π/2.

Манипуляции с символьными выражениями

SymPy предоставляет множество функций для работы с математическими выражениями: упрощение, раскрытие скобок, факторизация, сокращение дробей и так далее. Рассмотрим некоторые из них подробнее.

Упрощение. Пригодится, когда нужно представить выражение в более удобоваримой форме. Для этого есть функции: simplify, expand, collect и factor.

simplify() анализирует выражение на предмет вызова функций, квадратных корней, радикалов и степеней и инициализирует подходящие процедуры упрощения:

from sympy import symbols, simplify, sin, cos
x = symbols('x')
expr = sin(x)**2 + cos(x)**2 # Тождество Пифагора, равное 1 при любом x
simplified_expr = simplify(expr)
print(simplified_expr)  # 1

В этом примере simplify() упрощает выражение sin(x)**2 + cos(x)**2 с помощью тождества Пифагора. Обратите внимание, что не мы задаём вариант упрощения — он определяется автоматически.

Функция expand() раскрывает скобки:

from sympy import symbols, expand, factor


x, y = symbols('x y')


expr = (x + y)**3


expanded_expr = expand(expr)


print(expr, '=', expanded_expr)

В этом примере мы раскрыли куб выражения (x + y).

Вот какой результат вернул компьютер:

(x + y)**3 = x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3

Функция collect() группирует переменные в выражениях:

from sympy import symbols, collect


x, y = symbols('x y')


expr = x*y + x**2 + y + x*y**2


collected_expr = collect(expr, x)


print(expr, '=', collected_expr)

Здесь collect() группирует слагаемые в выражении x*y + x**2 + y + x*y**2 по степеням переменной x.

Результат выполнения кода:

x**2 + x*y**2 + x*y + y = x**2 + x*(y**2 + y) + y

factor() представляет выражение в виде произведения множителей (факторизует его):

from sympy import symbols, factor


x, y = symbols('x y')


expr = x**3 + 3 * x**2 * y + 3 * x * y**2 + y**3


factored_expr = factor(expr)


print(expr, '=', factored_expr)

Результат:

x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3 = (x + y)**3

Все эти методы можно и нужно комбинировать, чтобы получить необходимый результат.

Решаем уравнения и системы уравнений

В SymPy можно решать уравнения с символьными переменными и их системы — с помощью функций Eq() и solve().

Уравнения

Допустим, мы хотим решить уравнение x**2 + y**2 = 1. Чтобы составить его, нам понадобится функция Eq():

from sympy import symbols, Eq, solve


# Создание символьных переменных
x, y = symbols('x y')


# Создание уравнения
equation = Eq(x**2 + y**2, 1)

Решить полученное уравнение можно с помощью функции solve():

# Решение уравнения
solution = solve(equation, y)


print(solution)

Код вернёт два решения квадратного уравнения в виде списка:

[-sqrt(1 - x**2), sqrt(1 - x**2)]

Системы уравнений

Добавим в нашу программу ещё одну символьную переменную (z) и построим систему уравнений:

Делается это с помощью той же функции Eq():

from sympy import symbols, Eq, solve


# Создание символьных переменных
x, y = symbols('x y')


# Создание уравнения
equation = Eq(x**2 + y**2, 1)


# Создание ещё одной символьной переменной
z = symbols('z')


# Создание системы уравнений
system_of_equations = [Eq(x + y + z, 1), Eq(x - y - z, 0), Eq(x**2 + y**2 - z, 1)]

Теперь решим её с помощью уже знакомой функции solve():

# Решение системы уравнений
solutions = solve(system_of_equations, (x, y, z))


print(solutions)

Программа вернёт значения переменных x, y, z, при которых выполняется система уравнений:

[(1/2, -1/2 + sqrt(6)/2, 1 - sqrt(6)/2), (1/2, -sqrt(6)/2 - 1/2, 1 + sqrt(6)/2)]

Дифференциальные уравнения

С SymPy можно решать даже диффуры. Для этого в ней есть функция dsolve().

Давайте познакомимся с её работой на примере уравнения y’ = x**2 − y с начальным условием y(0) = 1:

from sympy import symbols, Function, dsolve, Eq


# Создание символов и функции
x = symbols('x')
y = Function('y')


# Определение дифференциального уравнения
diff_eq = Eq(y(x).diff(x), x**2 − y(x))


# Решение уравнения
solution = dsolve(diff_eq, y(x), ics={y(0): 1})


print(solution)

На экране увидим результат — символьное выражение:

Eq(y(x), x**2 − 2*x + 2 − exp(-x))

Операции с матрицами

Есть в SymPy и инструменты линейной алгебры. Например, для создания матриц, сложения, вычитания и прочих действий с ними используют класс Matrix.

Как создать матрицу

Для этого создайте объект Matrix, передав в него символы для заполнения матрицы:

from sympy import Matrix, symbols
# Создание символов
a, b, c, d = symbols('a b c d')
# Создание матрицы 2x2
matrix_2x2 = Matrix([[a, b], [c, d]])
print("Матрица 2x2:")
print(matrix_2x2)

Результат работы кода — матрица 2×2:

Матрица 2x2:
Matrix([[a, b], [c, d]])

Сложение, вычитание и умножение матриц

Арифметические операции над матрицами в SymPy можно производить так же, как и над обычными числами, — используя арифметические операторы +, - и *:

from sympy import Matrix, symbols


# Создание символов
a, b, c, d = symbols('a b c d')


# Создание первой матрицы
matrix_2x2 = Matrix([[a, b], [c, d]])


# Создание второй матрицы
matrix_2x2_2 = Matrix([[1, 2], [3, 4]])


# Сложение матриц
sum_matrix = matrix_2x2 + matrix_2x2_2


# Вычитание матриц
diff_matrix = matrix_2x2 − matrix_2x2_2


print("Сумма матриц:")
print(sum_matrix)


print("\nРазность матриц:")
print(diff_matrix)

Вот что выведет программа:

Сумма матриц:
Matrix([[a + 1, b + 2], [c + 3, d + 4]])


Разность матриц:
Matrix([[a - 1, b - 2], [c - 3, d - 4]])

Продолжим наш код:

# Умножение матриц
product_matrix = matrix_2x2 * matrix_2x2_2


print("Произведение матриц:")
print(product_matrix)

Результат выполнения:

Произведение матриц:
Matrix([[a + 3*b, 2*a + 4*b], [c + 3*d, 2*c + 4*d]])

Визуализация

Результаты вычислений, полученных с помощью SymPy, можно визуализировать в виде графиков. Однако сама библиотека подходит для этого плохо, так как ориентирована именно на проведение символьных вычислений. Для визуализации результатов обычно используют другие библиотеки, например Matplotlib.

Что запомнить

Подведём итоги и вспомним, что сегодня узнали:

Библиотека SymPy используется для символьных вычислений, где формулы — это не только инструменты решения конкретных задач, но также объекты анализа математических структур.
В SymPy можно работать с символами и переменными, строить выражения, не привязанные к конкретным числам. Это полезно при работе с матрицами, решении уравнений и выполнении математических преобразований.
Библиотека предоставляет средства для символьного дифференцирования и интегрирования: можно находить производные и интегралы сложных функций, решать дифференциальные уравнения. Это важно при решении физических, инженерных, финансовых и других задач.
Чтобы визуализировать результаты численных и символьных вычислений, используйте SymPy совместно с библиотеками для построения графиков — Matplotlib, Seaborn и другими.

Читайте также: