Векторное произведение векторов: что это и как посчитать
Ищем векторное произведение двух векторов и применяем правило правой руки.
Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media
Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. В мире IT эта операция нужна для выравнивания 3D-объектов, разработки физических симуляций и систем управления роботами.
В этой статье выясняем, как найти векторное произведение и какими свойствами оно обладает.
Содержание
Немного терминов
Вектор — это направленный отрезок, который соединяет две точки. У вектора есть длина и направление:
- Длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Вектор может быть и с нулевой длиной, если его начало и конец совпадают.
- Направление показывает, куда «смотрит» вектор. Например, стрелка, нарисованная на плоскости, может указывать вверх, вниз, вправо, влево или в любую другую сторону.
Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. Чаще всего операция обозначается знаком ×, например:
Если векторы коллинеарны (то есть находятся на одной прямой или параллельны), то их произведением будет нулевой вектор. Слово «нулевой» означает, что длина вектора равна нулю, а его направление невозможно определить. Такой вектор обозначают символом .
Читайте также:
Угол между векторами. Если начала векторов поместить в одну точку, как стрелки часов, то можно будет измерить угол между ними. Угол может быть от 0° до 180°. Если угол меньше 90°, то векторы считаются направленными в одну сторону. Если угол равен 90°, то векторы перпендикулярны друг другу. Если угол больше 90°, то векторы направлены в противоположные стороны. Когда угол равен 0° или 180°, векторы называются коллинеарными.
Свойства результирующего вектора
Как мы отметили ранее, векторное произведение образует новый вектор — в математике он называется результирующим. У него есть следующие свойства:
1. Новый вектор перпендикулярен паре исходных векторов. Например, векторное произведение может выглядеть так:
На рисунке выше и — исходные векторы, лежащие на плоскости A, — угол между ними, а вектор — их векторное произведение, расположенное перпендикулярно к плоскости A.
2. Длина нового вектора равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними. Формула для модуля векторного произведения векторов и выглядит так:
В этой формуле и — векторы, и — их модули, а — угол между ними.
3. Вектор , полученный в результате векторного произведения на , направлен так, чтобы наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .
На рисунке слева видно, что если смотреть с конца вектора , полученного в результате векторного произведения на , то вращение вектора к происходит против часовой стрелки.
На рисунке справа вращение вектора к происходит против часовой стрелки, поэтому вектор , полученный в результате векторного произведения на , будет направлен в противоположную сторону от вектора . Если смотреть с конца вектора , как бы «снизу», то вращение к происходит против часовой стрелки.
Правило правой руки
Направление вектора, полученного в результате векторного произведения, можно определить по правилу правой руки. Самый простой его вариант звучит так: если разместить указательный палец правой руки на первом векторе, а средний на втором, то отогнутый перпендикулярно к ладони большой палец покажет примерное направление произведения векторов.
Свойства векторного произведения
Векторное произведение векторов обладает несколькими важными свойствами.
Антикоммутативность
Антикоммутативность — свойство математических операций, при котором, если изменить порядок операндов, результат изменится на противоположный. Обратное для этого свойство — коммутативность, когда порядок операндов не влияет на результат. Например, при сложении и умножении: 10 + 5 = 5 + 10 = 15.
Векторное произведение векторов — антикоммутативная операция, которая зависит от порядка векторов. Если поменять векторы местами, то результат изменит знак:
Дистрибутивность относительно сложения
Дистрибутивность относительно сложения — математическое свойство, которое означает, что выражение, умноженное на сумму, можно сначала умножить на каждое слагаемое, а после сложить. Результат при этом не изменится. Например:
2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14
2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
Векторное произведение векторов также дистрибутивно относительно сложения:
Читайте также:
Ассоциативность умножения на скаляр
Ассоциативность умножения на скаляр — математическое свойство, которое означает, что при умножении нескольких чисел или векторов на скаляр (обычное число) не важен порядок выполнения операции. Например:
Координаты векторного произведения
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве можно выразить через их координаты на осях X, Y, Z.
Пусть даны два вектора и с координатами:
Тогда их векторное произведение = × также будет вектором = (, , ), координаты которого вычисляются следующим образом:
Эти формулы можно получить из определения векторного произведения через определитель матрицы. Если записать векторное произведение в виде матрицы, это будет выглядеть так:
В формуле выше , , — единичные векторы координатных осей X, Y, Z. Если мы разложим этот определитель по первой строке, то получим:
Продолжим вычисление определителя:
Таким образом, координаты векторного произведения двух векторов и в трёхмерном пространстве вычисляются по представленным формулам для , и .
Геометрический смысл векторного произведения
Векторное произведение векторов встречается не только в алгебре, но и в геометрии. Например, с помощью этой операции можно найти площадь параллелограмма.
Если у вас есть векторы и и вы построите параллелограмм, используя их в качестве сторон, то площадь этого параллелограмма будет равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:
При этом длина векторного произведения определяется по той же формуле. Это значит, что модуль длины векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на исходных векторах.
Физический смысл векторного произведения
С помощью векторного произведения можно описать физические явления, в которых важно учитывать направления и величину результирующих векторов. Например, произведение позволяет выразить момент силы, линейную скорость точки вращающегося тела и силу Лоренца.
Момент силы
В физике момент силы относительно точки или оси определяется как векторное произведение радиус-вектора, проведённого от этой точки до точки приложения силы, и самой силы.
Формула момента силы относительно точки O выглядит следующим образом:
В ней — радиус-вектор от точки O до точки приложения силы, а — сила.
Момент силы показывает, насколько эффективно сила вызывает вращение вокруг данной точки или оси. Его направление указывает на ось вращения, а величина — на интенсивность этого вращения.
Линейная скорость точки на вращающемся теле
Вращение тела вокруг оси описывается вектором угловой скорости . Линейная скорость любой точки на этом теле (на расстоянии от оси вращения) определяется как векторное произведение:
Где — радиус-вектор от оси вращения до рассматриваемой точки.
В этом случае направление линейной скорости перпендикулярно как к вектору угловой скорости, так и к радиус-вектору.
Сила Лоренца
В электромагнитных явлениях сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, также определяется через векторное произведение:
В этом случае q — заряд, — скорость заряда, а — вектор магнитной индукции (магнитное поле).
Сила Лоренца перпендикулярна как направлению движения заряда, так и направлению магнитного поля, что приводит к закручиванию траектории заряженной частицы.
Что запомнить
- Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается третий вектор.
- Произведение обычно записывают так:
- Направление результирующего вектора можно найти с помощью правила правой руки: если разместить указательный палец правой руки на первом векторе, а средний на втором, то большой палец покажет направление результирующего вектора.
- Векторное произведение обладает следующими свойствами:
- Антикоммутативность:
- Дистрибутивность относительно сложения:
- Ассоциативность умножения на скаляр:
- Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах: , где и — векторы, и — их модули, а — угол между ними.
Больше интересного про код — в нашем телеграм-канале. Подписывайтесь!