Векторное произведение векторов: что это и как посчитать

Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. В мире IT эта операция нужна для выравнивания 3D-объектов, разработки физических симуляций и систем управления роботами.

В этой статье выясняем, как найти векторное произведение и какими свойствами оно обладает.

Содержание

• Немного терминов
• Свойства результирующего вектора
• Правило правой руки
• Свойства векторного произведения
• Координаты векторного произведения
• Геометрический смысл векторного произведения
• Физический смысл векторного произведения

Немного терминов

Вектор — это направленный отрезок, который соединяет две точки. У вектора есть длина и направление:

• Длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Вектор может быть и с нулевой длиной, если его начало и конец совпадают.
• Направление показывает, куда «смотрит» вектор. Например, стрелка, нарисованная на плоскости, может указывать вверх, вниз, вправо, влево или в любую другую сторону.

Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. Чаще всего операция обозначается знаком ×, например:

Если векторы коллинеарны (то есть находятся на одной прямой или параллельны), то их произведением будет нулевой вектор. Слово «нулевой» означает, что длина вектора равна нулю, а его направление невозможно определить. Такой вектор обозначают символом .

Читайте также:

Что такое коллинеарность векторов и как её определить

Угол между векторами. Если начала векторов поместить в одну точку, как стрелки часов, то можно будет измерить угол между ними. Угол может быть от 0° до 180°. Если угол меньше 90°, то векторы считаются направленными в одну сторону. Если угол равен 90°, то векторы перпендикулярны друг другу. Если угол больше 90°, то векторы направлены в противоположные стороны. Когда угол равен 0° или 180°, векторы называются коллинеарными.

Свойства результирующего вектора

Как мы отметили ранее, векторное произведение образует новый вектор — в математике он называется результирующим. У него есть следующие свойства:

1. Новый вектор перпендикулярен паре исходных векторов. Например, векторное произведение может выглядеть так:

На рисунке выше и  — исходные векторы, лежащие на плоскости A,  — угол между ними, а вектор  — их векторное произведение, расположенное перпендикулярно к плоскости A.

2. Длина нового вектора равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними. Формула для модуля векторного произведения векторов и выглядит так:

В этой формуле и  — векторы, и  — их модули, а  — угол между ними.

3. Вектор , полученный в результате векторного произведения на , направлен так, чтобы наименьшее вращение от  к  вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .

На рисунке слева видно, что если смотреть с конца вектора , полученного в результате векторного произведения на , то вращение вектора к  происходит против часовой стрелки.

На рисунке справа вращение вектора  к  происходит против часовой стрелки, поэтому вектор , полученный в результате векторного произведения  на , будет направлен в противоположную сторону от вектора . Если смотреть с конца вектора , как бы «снизу», то вращение  к  происходит против часовой стрелки.

Читайте также:

Скалярное произведение векторов: формулы, определения, свойства

Правило правой руки

Направление вектора, полученного в результате векторного произведения, можно определить по правилу правой руки. Самый простой его вариант звучит так: если разместить указательный палец правой руки на первом векторе, а средний на втором, то отогнутый перпендикулярно к ладони большой палец покажет примерное направление произведения векторов.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение векторов обладает несколькими важными свойствами.

Антикоммутативность

Антикоммутативность — свойство математических операций, при котором, если изменить порядок операндов, результат изменится на противоположный. Обратное для этого свойство — коммутативность, когда порядок операндов не влияет на результат. Например, при сложении и умножении: 10 + 5 = 5 + 10 = 15.

Векторное произведение векторов — антикоммутативная операция, которая зависит от порядка векторов. Если поменять векторы местами, то результат изменит знак:

Дистрибутивность относительно сложения

Дистрибутивность относительно сложения — математическое свойство, которое означает, что выражение, умноженное на сумму, можно сначала умножить на каждое слагаемое, а после сложить. Результат при этом не изменится. Например:

2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14

2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14

Векторное произведение векторов также дистрибутивно относительно сложения:

Читайте также:

Как найти длину вектора: разбираем 3 способа

Ассоциативность умножения на скаляр

Ассоциативность умножения на скаляр — математическое свойство, которое означает, что при умножении нескольких чисел или векторов на скаляр (обычное число) не важен порядок выполнения операции. Например:

Координаты векторного произведения

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве можно выразить через их координаты на осях X, Y, Z.

Пусть даны два вектора и  с координатами:

Тогда их векторное произведение = × также будет вектором = (, , ), координаты которого вычисляются следующим образом:

Эти формулы можно получить из определения векторного произведения через определитель матрицы. Если записать векторное произведение в виде матрицы, это будет выглядеть так:

В формуле выше , ​,  — единичные векторы координатных осей X, Y, Z. Если мы разложим этот определитель по первой строке, то получим:

Продолжим вычисление определителя:

Таким образом, координаты векторного произведения двух векторов и  в трёхмерном пространстве вычисляются по представленным формулам для , и ​.

Геометрический смысл векторного произведения

Векторное произведение векторов встречается не только в алгебре, но и в геометрии. Например, с помощью этой операции можно найти площадь параллелограмма.

Если у вас есть векторы и и вы построите параллелограмм, используя их в качестве сторон, то площадь этого параллелограмма будет равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:

При этом длина векторного произведения определяется по той же формуле. Это значит, что модуль длины векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на исходных векторах.

Физический смысл векторного произведения

С помощью векторного произведения можно описать физические явления, в которых важно учитывать направления и величину результирующих векторов. Например, произведение позволяет выразить момент силы, линейную скорость точки вращающегося тела и силу Лоренца.

Момент силы

В физике момент силы относительно точки или оси определяется как векторное произведение радиус-вектора, проведённого от этой точки до точки приложения силы, и самой силы.

Формула момента силы относительно точки O выглядит следующим образом:

В ней  — радиус-вектор от точки O до точки приложения силы, а  — сила.

Момент силы показывает, насколько эффективно сила вызывает вращение вокруг данной точки или оси. Его направление указывает на ось вращения, а величина — на интенсивность этого вращения.

Линейная скорость точки на вращающемся теле

Вращение тела вокруг оси описывается вектором угловой скорости . Линейная скорость любой точки на этом теле (на расстоянии от оси вращения) определяется как векторное произведение:

Где  — радиус-вектор от оси вращения до рассматриваемой точки.

В этом случае направление линейной скорости перпендикулярно как к вектору угловой скорости, так и к радиус-вектору.

Сила Лоренца

В электромагнитных явлениях сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, также определяется через векторное произведение:

В этом случае q — заряд,  — скорость заряда, а  — вектор магнитной индукции (магнитное поле).

Сила Лоренца перпендикулярна как направлению движения заряда, так и направлению магнитного поля, что приводит к закручиванию траектории заряженной частицы.

Что запомнить

• Векторное произведение векторов — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается третий вектор.
• Произведение обычно записывают так:
• Направление результирующего вектора можно найти с помощью правила правой руки: если разместить указательный палец правой руки на первом векторе, а средний на втором, то большой палец покажет направление результирующего вектора.
• Векторное произведение обладает следующими свойствами:

• Антикоммутативность:
• Дистрибутивность относительно сложения:
• Ассоциативность умножения на скаляр:

• Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах: , где и  — векторы, и  — их модули, а  — угол между ними.