Производные для чайников: учимся измерять скорость изменения функции

При создании игр разработчики используют дифференциальное исчисление для моделирования движения персонажей. Например, когда персонаж прыгает или бросает предмет, оно помогает рассчитать траекторию с учётом скорости, ускорения и других факторов. Это позволяет создать реалистичную физику и более естественное поведение объектов.

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, который изучает скорость изменения функций и их производные. Такое исчисление широко используется в физике, экономике, инженерии и других областях для моделирования и анализа динамических процессов.

Одной из ключевых концепций дифференциального исчисления являются производные функции. Из этой статьи вы узнаете, что они собой представляют, какой у них смысл и как их правильно вычислять.

Содержание

• Что такое производная
• В чём смысл производной
• Таблица производных функции
• Как найти значение производной

Что такое производная функции и зачем она нужна

Чтобы понять тему производной функции, давайте сначала вспомним понятие функции. Представьте, как вы катаетесь на велосипеде: разгоняетесь, тормозите и едете с постоянной скоростью. Скорость велосипеда меняется с течением времени — это и есть пример функции времени.

Функция — это математическое правило, которое принимает на вход число (аргумент) и возвращает определённый результат. В нашем примере результатом будет скорость велосипеда, а аргументом — время движения.

Если представить зависимость скорости от времени в виде формулы, она примет следующий вид: V = f(t). Распишем значения этой формулы:

• Скорость велосипеда (V) — зависимая переменная, которая изменяется с течением времени. Например, в начале поездки она может быть 0 км/ч, через 5 минут — 20 км/ч, а через 10 минут — 30 км/ч.
• Время (t) — независимая переменная, которую мы задаём самостоятельно. Она служит аргументом функции.
• Функция f(t) описывает зависимость скорости от времени. Например,
  f(t) = 3t + 2. Эта функция означает, что каждую минуту скорость увеличивается на 3 км/ч, начиная с 2 км/ч в момент старта. Получается, через 5 минут скорость будет равна 3 × 5 + 2 = 17 км/ч.

Построим график изменения скорости велосипеда в двумерной системе координат X и Y. По горизонтальной оси X будем откладывать время движения, а по вертикальной оси Y — скорость велосипеда:

Мы вспомнили понятие функции, и теперь давайте рассмотрим изменение скорости велосипеда в разные промежутки времени. Для этого разберём два понятия: приращение аргумента и приращение функции.

Отметим на графике точки A и B, опустим из них перпендикуляры на оси X и Y. Точки пересечения этих перпендикуляров с осями будут координатами точек A и B. Пусть точка A имеет координаты (x₁, y₁), а точка B — (x₂, y₂):

На графике в момент времени x₁ скорость велосипеда равна y₁, а в момент времени x₂ она становится равной y₂. За промежуток времени Δx = x₂ — x₁ скорость изменяется на следующую величину Δy = y₂ — y₁.

Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента. В нашем случае это изменение времени между двумя точками измерения скорости: если мы измеряем скорость в начале движения и через 5 минут, приращение аргумента составит 5 минут. В системе координат XYоно обозначается как Δx, где Δ (дельта) — символ приращения.

С изменением аргумента изменяется и сама функция. Это изменение называется приращением функции. В нашем примере это изменение скорости между двумя точками измерения. Например, если скорость в начале движения была 0 км/ч, а через 5 минут стала 20 км/ч, приращение функции составит 20 км/ч. В системе координат XY оно обозначается как Δy.

Для функции y = f(x) приращение будет равно Δy = f(x + Δx) – f(x):

• f(x) — значение функции в исходной точке;
• f(x+Δx) — значение функции в точке, смещённой на Δx;
• Δx — приращение аргумента;
• Δy — приращение функции.

Приращение аргумента и приращение функции позволяют определить скорость изменения функции. Это помогает понять динамику движения велосипеда в любой момент времени. Если скорость изменения функции положительная — велосипед ускоряется, если отрицательная — замедляется, а если равна нулю — движется с постоянной скоростью.

Скорость изменения функции относительно изменения её аргумента вычисляется как отношение приращения функции к приращению аргумента. Точность этого значения увеличивается при уменьшении приращения аргумента. Для наиболее точного результата необходимо рассматривать это отношение при малых изменениях аргумента.

Представьте, что нам нужно узнать скорость велосипеда в конкретный момент, а не среднюю скорость за некоторый промежуток времени. Для этого нужно рассмотреть такой короткий интервал времени, что он почти сводится к точке. В математике это выражается через понятие предела. Вот именно здесь мы и сталкиваемся с понятием производной функции.

Производная — это предельное значение скорости изменения функции при стремлении изменения аргумента к нулю. То есть это мгновенная скорость изменения функции в заданной точке. Вот формула производной:

Элементы формулы:

• f'(x) — производная функции f в точке x.
• lim — предел выражения при стремлении Δx к нулю.
• Δx — приращение аргумента.
• f(x + Δx) — значение функции в точке x + Δx.
• f(x)— значение функции в точке x.

В примере с велосипедом производная функции скорости по времени показывает мгновенное ускорение. Это значение позволяет:

• Определять, как быстро изменяется скорость велосипеда в любой момент времени.
• Понять, когда велосипедист ускоряется, замедляется или движется с постоянной скоростью.
• Рассчитать время для достижения определённой скорости.
• Оптимизировать маршрут, учитывая изменение скорости на разных участках пути.

В следующем разделе мы ещё обсудим предназначение производной, когда на примерах будем рассматривать её физический смысл.

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический и физический смысл производной — это два различных подхода, позволяющие понять значение этого математического понятия.

Геометрический смысл производной можно понять через график функции. Рассмотрим график y = f(x). Отметим на нём точки A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂), а затем проведём из них перпендикуляры к осям X и Y. Если теперь мы соединим точки A и B, то образуем прямоугольный треугольник ABC.

В этом треугольнике отношение приращения функции Δy к приращению аргумента Δx равно тангенсу угла ABC, который образован секущей линией AB и положительным направлением оси X. Если мы начнём сближать точки x₁ и x₂, расстояние между ними (Δx) также будет уменьшаться, пока секущая постепенно не превратится в касательную — прямую, соприкасающуюся с графиком функции в одной точке.

Эта касательная и определяет значение производной в данной точке. Поэтому геометрический смысл производной можно сформулировать так: значение производной функции в точке x₀ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Рассмотрим, как меняется производная для различных типов функций, чтобы лучше понять, как она отражает поведение функции на графике. Разберём три основных случая: возрастающую функцию, убывающую функцию и функцию в точке экстремума.

Производная возрастающей функции. У возрастающей функции значения y увеличиваются с увеличением x. Производная такой функции всегда положительна: f′(x) > 0. Это означает, что у касательной к графику функции положительный наклон, а график функции направлен вверх.

Производная убывающей функции. У убывающей функции значения y уменьшаются с увеличением x. Производная убывающей функции всегда отрицательна: f′(x) < 0. В этом случае наклон касательной отрицательный, а график функции направлен вниз.

Производная в точке экстремума. Экстремум — это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума. В этой точке производная функции равна нулю: f′(x) = 0. Это означает следующее:

• В точке локального максимума функция меняет направление с возрастающей на убывающую.
• В точке локального минимума функция меняет направление с убывающей на возрастающую.

Анализ производной функции помогает понять её поведение. Представьте, что вы едете на велосипеде по холмистой местности. График вашего пути можно интерпретировать как функцию, где ось X — это пройденное расстояние, а ось Y — высота над уровнем моря.

Рассмотрим производную на разных участках пути:

• Когда вы поднимаетесь в гору, производная положительна — функция возрастает.
• Когда вы спускаетесь с горы, производная отрицательна — функция убывает.
• На вершине холма или в низине долины производная равна нулю — это точки экстремума.

Значение производной в каждой точке отображает крутизну подъёма или спуска. И чем больше абсолютное значение производной, тем круче склон.

Теперь рассмотрим физический смысл производной — её интерпретацию в контексте реальных процессов и явлений. Производная позволяет точно описать, как быстро изменяется одна физическая величина относительно другой во времени или в зависимости от иных параметров.

Вот несколько примеров:

• Сила тока — производная электрического заряда по времени. Она характеризует скорость прохождения заряда через проводник: чем быстрее проходит заряд, тем больше сила тока.
• Скорость нагрева или охлаждения тела — это производная температуры по времени. Она отражает интенсивность изменения температуры объекта: чем быстрее меняется температура, тем выше скорость нагрева или охлаждения.
• Предельная прибыль в экономике — производная общей прибыли по объёму производства. Она показывает, как изменяется общая прибыль при изменении объёма производства: чем выше предельная прибыль, тем выгоднее наращивать производство.
• Темп роста популяции — производная численности популяции по времени. Она показывает, как быстро изменяется количество особей в популяции: положительное значение указывает на рост, отрицательное — на сокращение численности.
• Скорость передачи данных — это производная объёма переданной информации по времени. Она определяет, как быстро передаётся информация: чем выше скорость, тем больший объём данных передаётся за единицу времени.

Производные для многих математических функций уже вычислены и собраны в таблице. Разберёмся, что это за таблица и как её использовать.

Таблица производных

Таблица производных — это справочный инструмент, содержащий производные основных математических функций: степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических. Она помогает сэкономить время при решении задач на дифференцирование и позволяет быстро проверять правильность уже вычисленных значений.

В левом столбце таблицы находится исходная функция, а в правом — её производная. Для примера возьмём функцию f(x) = x² и найдём её производную по таблице:

• Функция f(x) = x² — это степенная функция со степенью n = 2.
• Используя формулу из таблицы для xⁿ, получаем: f'(x) = n · xⁿ⁻¹.
• Подставляем значение n = 2 в формулу: f'(x) = 2 · x²⁻¹ = 2 · x¹ = 2x.

Получается, производная функции x² равна 2x. Это означает, что скорость изменения функции x² в любой точке пропорциональна 2x.

Таблица производных охватывает только основные функции. Для более сложных выражений необходимо выполнять расчёты самостоятельно, используя правила дифференцирования сложных функций.

Правила нахождения производной функции

Правила дифференцирования — это принципы, позволяющие находить производные сложных функций путём разложения их на более простые составляющие. Существует много таких правил, и для их углублённого изучения рекомендуются ресурсы Wolfram Alpha и Khan Academy. В этом разделе мы рассмотрим основные правила и разберём их на примерах.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

• Правило: (u + v)' = u' + v'
• Условие: y = x² + 3x
• Решение: y' = (x²)' + (3x)' = 2x + 3

Производная произведения функций. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции.

• Правило: (u · v)' = u' · v + u · v'
• Условие: y = x · sin (x)
• Решение: y' = 1 · sin (x) + x · cos (x) = sin (x) + x · cos (x)

Производная частного двух функций представляется дробью. В числителе — разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя. В знаменателе — квадрат знаменателя.

• Правило: (u/v)' = (u' · v — v' · u) / v²
• Условие: y = x / (x + 1)
• Решение: y' = (1 · (x + 1) — 1 · x) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²

Производная любой константы равна нулю.

• Правило: (c)' = 0
• Условие: y = 5
• Решение: y' = 0

Производная степенной функции. При дифференцировании степень уменьшается на единицу, а показатель степени становится множителем.

• Правило: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
• Условие: y = x³
• Решение: y' = 3x²