Пределы в математике: что это такое и как их решать

Предел функции — это одно из базовых понятий математического анализа. С пределом связаны такие термины, как непрерывность, производная и интеграл. Но самое главное — это мощный инструмент для анализа явлений в реальном мире. С его помощью анализируют производительность алгоритмов в информатике и рассчитывают нагрузки на несущие опоры мостов в строительстве.

Содержание

• Что такое предел функции
• Свойства пределов
• Как решать пределы
• Неопределённости в пределах
• Таблица пределов
• Примеры решения типовых задач

Что такое предел функции

Сначала вспомним, что такое функция и аргумент.

Функция — это математическое правило, которое получает на вход число и возвращает какой-то результат. Например, в функции y = x² число умножается на само себя. Передали 2, получили 4.

Аргумент — это число, которое мы передаём, то есть подставляем в функцию. В нашем примере аргумент равен 2.

В общем виде функция записывается так.

Здесь f — это функция, x — её аргумент, y — результат её выполнения.

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. Проще всего разобраться в этом на примере.

Напишем простую функцию.

Представим, что x стремится к числу 2, но не достигает его:

1,9; 1,99; 1,999…1,99999.

Тогда y будет стремиться к 4:

3,61; 3,9601; 3,996001…3,9999600001.

Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа 4, а только приблизится к нему.

Получается, что предел для функции при x, стремящемся к 2, равен 4.

Предел в математике обозначается с помощью lim.

Читается выражение так: для функции y = f(x) пределом называется такое число a, к которому приближается y при x, стремящемся к определённой точке x₀. Стремление обозначается стрелкой.

Слово «стремится» означает, что переменная приближается к пределу на сколь угодно малую величину, но никогда не достигает его.

Посмотрим на другую формулу.

И сразу построим для неё график.

Мы видим, что чем больше становится значение x, тем ближе функция y = 1/x приближается к нулю, но при этом она никогда не достигнет его. То есть y не может стать равным 0.

Предел функции в точке

Предел функции в точке x₀ — это число, к которому приближаются значения функции, когда x приближается к x₀.

К точке можно приближаться с двух сторон. Например, к числу 2 — через 1,9; 1,99; 1,999 или через 2,1; 2,01; 2,001. В первом случае x подходит слева, через меньшие числа, во втором — справа, через большие. Соответствующие пределы называют левым и правым.

Двусторонний предел существует, если левый и правый пределы существуют и равны. Например, для y = x² при приближении к 2 с обеих сторон значения функции стремятся к 4. Если же слева функция стремится к одному числу, а справа — к другому, двустороннего предела нет.

Свойства пределов

Свойства пределов помогают разбить сложное выражение на части и найти предел каждой из них отдельно.

Пусть при x → a функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы.

Тогда можно применить следующие правила.

Предел постоянной. Предел постоянного числа равен самому числу, и его значение не меняется при изменении x.

Постоянный множитель. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: сначала найти предел функции, а затем умножить результат на это число.

Предел произведения. Предел произведения равен произведению пределов. Свойство работает для любого конечного числа множителей.

Предел частного. Предел дроби равен отношению пределов числителя и знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

Предел степени. Чтобы найти предел функции в натуральной степени, можно сначала найти предел функции, а после возвести результат в эту степень.

Предел корня. Предел корня равен корню из предела выражения под ним.

Как решать пределы

Чтобы вычислить предел, во многих случаях достаточно подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент.

При возникновении неопределённостей, то есть отсутствия решения при подстановке числа, используются разные подходы: упрощение выражений с помощью деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и другие приёмы. О таких случаях мы подробно поговорим дальше.

Один из самых простых способов решения — использовать теоремы о пределах. Это математические правила, которые упрощают вычисления.

Например, предел функции y = c равен c при любом x.

Проверим на графике.

Как мы видим, при любом x функция принимает одно и то же значение: y = 8.

Некоторые задачи можно решить с помощью приведения к первому или второму замечательному пределу. В этом случае не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости — это уже сделано и оформлено в готовый шаблон.

Но иногда от неопределённостей так легко не избавиться. Придётся достать тетрадь, ручку и вспомнить математику. Разберём пошаговый алгоритм решения пределов.

Посмотрите, к чему стремится x: к числу или к бесконечности. Это указано под знаком предела, и от этого зависит способ решения.

Попробуйте подставить число. Если x стремится к числу, то подставьте вместо него это число и посчитайте результат. Для непрерывной функции полученное значение и будет пределом.

Если появилась неопределённость, упростите выражение. Попробуйте разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель. Если мешает корень, может помочь умножение на сопряжённое выражение.

Вычислите предел после упрощения. Снова попробуйте подставить значение. Чаще всего после сокращения уже можно получить ответ. Если неопределённость осталась, проверьте, подходит ли выражение под один из замечательных пределов — готовых формул, которые разобраны дальше.

Проверьте и запишите ответ. Для предела в точке результат должен быть одинаковым при приближении с обеих сторон. Если слева и справа получаются разные пределы, общего предела нет. Если результаты совпадают, запишите найденное значение.

Неопределённости в пределах

Прежде чем перейти к неопределённости, вспомним, что такое непрерывные функции.

Непрерывность функции в точке означает, что в этой конкретной точке нет разрывов. Если говорить просто, то на построенном графике для неё в этой точке мы можем определить значение y по x.

Например, функция f(x) = 1/x имеет разрыв в точке x = 0. То есть в этой точке вычислить значение функции невозможно. Это хорошо видно на графике.

Мы видим, что для х = 0 значения y не существует — график не имеет точки с такой координатой.

Чтобы найти предел функции в любой точке непрерывности, достаточно просто подставить значение этой точки в функцию. Например, подставим 1 в f(x) = 1/x. Получаем следующее.

Предел в этом случае будет равен 1.

Но иногда такой способ решения приводит к неопределённости — то есть невозможности определить, существует ли предел функции в заданной точке и каково его значение.

В математическом анализе при вычислении пределов выделяют семь основных неопределённостей. Рассмотрим те, которые встречаются чаще всего: ∞/∞, 0/0 и ∞ − ∞.

Неопределённость ∞/∞

Рассмотрим функцию.

Найдём её предел при x, стремящемся к бесконечности.

Если мы подставим в формулу x, равный бесконечности, то получим в числителе и знаменателе бесконечность.

Бесконечность, поделённая на бесконечность, — это неопределённость, так как результат деления может быть равен любому числу. Поэтому нам нужно от неё избавиться.

Для этого разделим числитель и знаменатель на x², то есть на переменную в старшей степени.

Теперь, если мы подставим бесконечность вместо х, то дроби с х в знаменателе превратятся в 0. В результате получим следующее.

Таким образом, чтобы раскрыть неопределённость ∞/∞ в многочленах, нужно разделить числитель и знаменатель на переменную в старшей степени.

Неопределённость 0/0

Найдём предел функции.

Если мы просто подставим в формулу x = 2, то в числителе и знаменателе получим 0.

Ноль, поделённый на ноль, — это тоже неопределённость, которая может быть равна любому числу. Чтобы избавиться от неё, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Числитель можно разложить так.

А знаменатель — так.

Подставим в функцию числитель и знаменатель.

Сократим дробь на (x − 2). В результате получим следующее.

Найдём предел функции при х, стремящемся к 2. Для этого просто подставим в формулу х = 2. Получим следующее.

Неопределённость ∞ − ∞

Рассмотрим пример.

Здесь имеет место неопределённость вида ∞ — ∞, которая может быть равна любому числу.

Избавимся от неё. Для этого умножим и разделим выражение на сопряжённое, чтобы прийти к следующей формуле.

В результате получим следующее.

Таким образом мы пришли к неопределённости ∞/∞, которую уже умеем раскрывать.

Разделим числитель и знаменатель на x. Так как дроби с x в знаменателе стремятся к 0 при x, стремящемся к бесконечности, мы получим это.

Таблица пределов

При решении задач удобно пользоваться списком пределов — он помогает понять поведение стандартных функций. Для вычисления достаточно подставить числа в формулу.

Примеры решения типовых задач

Потренируемся решать типовые задачи на пределы. Ниже мы собрали простые задания, для которых достаточно теории из этой статьи. Сначала попробуйте решить каждое самостоятельно, а затем прочитайте разбор.

Задача 1

Решение

В этом примере мы можем просто подставить x = 2.

Тогда получим, что когда x приближается к 2, значение x2 + 1 приближается к 5.

Задача 2

Решение

При подстановке получаем 0/0 — это неопределённость. Выражение надо преобразовать. Разложим числитель по формуле разности квадратов, сократим и подставим значение.

Задача 3

Решение

Разделим числитель и знаменатель на x. После этого становится видно, что, когда x растёт, дроби 1/x и 2/x стремятся к нулю. Подставим значение и получим ответ.

Что запомнить

Вспомним то, что узнали сегодня:

• Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённой точке, то есть к какому-то числу.
• Самый простой способ найти предел функции — подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент.
• Не существует универсального метода нахождения любого предела и раскрытия всех неопределённостей. Выбор способа решения зависит от конкретной задачи. В этом помогут таблицы пределов для стандартных функций.