Парадокс Монти Холла: одна из самых странных задач в теории вероятностей

Вы только что проиграли машину. Да-да, прямо сейчас — потому что, скорее всего, не знаете, как работает парадокс Монти Холла. В 1990 году из-за него разгорелся один из самых жарких научных споров: после колонки в Parade Magazine Мэрилин вос Савант получила шквал возмущённых писем от профессоров с фразами «Вы позорите науку!».

Сегодня этот парадокс незаметно влияет на A/B-тесты, поиск багов в коде и рекомендательные системы. В этой статье разбираемся, как устроен парадокс Монти Холла и почему иногда выгоднее не стоять на своём упорно.

Содержание

• Что такое парадокс Монти Холла
• Математика за парадоксом: холодный расчёт против интуиции
• Проверяем парадокс с помощью Python
• Почему мы не верим парадоксу Монти Холла
• Парадокс в действии: как IT-специалисты используют стратегию Монти Холла

Что такое парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла — это знаменитая задача из теории вероятностей, решение которой не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Условия задачи основаны на правилах популярной в 1960-х ТВ-игры Let’s Make a Deal, а сам парадокс назван в честь её первого ведущего — Монти Холла.

Представьте, что вы оказались на телевизионном шоу. Перед вами три двери: за одной спрятан автомобиль, а за двумя другими — козы. Ведущий, знающий расположение приза, предлагает вам выбрать любую дверь.

После того как вы делаете выбор, ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей — обязательно ту, за которой оказывается коза. Теперь перед вами две закрытые двери, и ведущий предлагает изменить свой первоначальный выбор. На первый взгляд кажется, что шансы победить — 1/2 (или 50 на 50) и менять дверь бессмысленно. Однако математический расчёт говорит обратное.

Согласно теории вероятностей, если остаться при первоначальном выборе, то вероятность победы составит 1/3. Если выбрать другую дверь — 2/3. Чтобы увеличить шансы на выигрыш, надо соглашаться на предложение ведущего и выбирать другую дверь.

Кажется странным, что отказ от первоначального выбора помогает выиграть, — но с математикой спорить сложно. Именно в этом и состоит парадокс Монти Холла: нам кажется, что смена стратегии никак не влияет на вероятность победы, но на деле именно в этом и кроется ключ к ней.

Читайте также:

Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события

Математика за парадоксом: расчёт против интуиции

Чтобы лучше понять парадокс, представьте: вам нужно поучаствовать в шоу 300 раз. По статистике, в 100 случаях из 300 (примерно 1/3) вы сразу выберете правильную дверь. В оставшихся 200 случаях (2/3) ваш изначальный выбор окажется ошибочным — вы выберете дверь с козой.

Теперь ключевой момент:

• В 200 случаях, когда вы ошиблись, смена выбора приведёт к победе.
• В 100 случаях, когда вы с первого раза угадали дверь, результат будет обратным: смена первоначального выбора приведёт к проигрышу.
• Именно на этом основано математическое преимущество смены стратегии.

Математически это описывается формулой условной вероятности:

P₁ = P₂ × P₃

Где:

• P₁ — вероятность выиграть при смене стратегии.
• P₂ — вероятность того, что первый выбор был неправильным.
• P₃ — условная часть, обозначающая, что ведущий откроет одну из оставшихся дверей, обязательно с козой за ней. Её обозначают единицей.

В итоге получаем:

Эта формула показывает, что при смене стратегии шанс выиграть машину с 1/3 увеличивается до 2/3.

Важная оговорка: это справедливо, только если ведущий знает, где находится приз, и специально открывает неправильную дверь. Если по условию задачи он будет открывать случайную дверь, то вероятность победы составит 1/2 и преимущества при смене стратегии не будет.

Проверяем парадокс с помощью программирования

Математические формулы не всем кажутся убедительными, поэтому давайте проверим парадокс Монти Холла с помощью Python. Заставим компьютер 100 тысяч раз поучаствовать в телевизионном шоу и узнаем, поможет ли смена стратегии чаще побеждать. Если вы пока не очень хорошо разбираетесь в Python, то предлагаем сделать паузу и изучить наш гайд.

Читайте также:

Как изучить Python самостоятельно и бесплатно: алгоритм

В коде симуляции игры Монти Холла мы будем случайным образом размещать приз за одной из трёх дверей, давать компьютеру возможность сделать выбор и сразу же открывать одну неправильную дверь. После этого компьютер будет делать два выбора: со сменой стратегии и без неё.

Вот так выглядит код симуляции на Python:

import random

def monty_hall_simulation(iterations):
    stay_wins = 0
    switch_wins = 0
    
    for _ in range(iterations):
        prize = random.randint(1, 3)  # Случайно размещаем приз
        choice = random.randint(1, 3)  # Игрок выбирает дверь
        
        # Ведущий открывает дверь с козой
        opened = next(d for d in [1, 2, 3] if d != prize and d != choice)
        
        # Финал при разных стратегиях
        if choice == prize:
            stay_wins += 1  # Угадали с первого раза
        else:
            switch_wins += 1  # Смена выбора привела к победе
    
    print(f"Побед при сохранении выбора: {stay_wins/iterations:.1%}")
    print(f"Побед при смене выбора: {switch_wins/iterations:.1%}")

monty_hall_simulation(100_000)

Запустим код и получим следующие значения:

Побед при сохранении выбора: 33.4%
Побед при смене выбора: 66.6%

Выходит, что смена стратегии на самом деле даёт преимущество — в два раза. Компьютер, в отличие от человека, не сомневается и выигрывает чаще, строго следуя математике.

Почему мы не верим парадоксу Монти Холла

В 1990 году Мэрилин вос Савант, обладательница самого высокого в то время IQ, опубликовала колонку в журнале Parade, где утверждала: в задаче Монти Холла стратегия смены выбора действительно выгоднее.

Реакция читателей была бурной. В редакцию журнала пришло более 10 тысяч гневных писем — от учёных, математиков и преподавателей вузов — с просьбами перестать позорить науку. Вот лишь несколько выдержек:

Почему было столько негодования?

Дело в том, что Мэрилин не обозначила правила поведения ведущего: специально он открывает неправильную дверь или действует случайно. А это критично:

• Если ведущий знает, где приз, и намеренно открывает неправильную дверь, — смена выбора действительно увеличивает шансы на победу до 2/3.
• Если же он открывает двери наугад — вероятность выигрыша при любом действии становится ½.

Следующие три колонки Мэрилин посвятила детальному разбору задачи Монти Холла и чётко оговорила все условия. Несмотря на это, некоторые читатели всё равно были не согласны с её решением. Их можно понять: парадокс бросает вызов самой природе человеческого мышления.

Наш мозг — продукт миллионов лет эволюции. Он создан для быстрых решений: «Беги от саблезубого тигра», «Не ешь эти ягоды». Но он совершенно не приспособлен для ситуаций, в которых кто-то сознательно манипулирует информацией. Когда ведущий открывает дверь, мы ошибочно воспринимаем это как случайное событие, а не как часть тщательно продуманного сценария.

В 1991 году профессор математики Стэнфордского университета Перси Диаконис отметил, что мозг очень плохо решает задачи по теории вероятностей. Именно поэтому парадокс Монти Холла нам кажется странным.

Парадокс в действии: как IT‑специалисты используют стратегию Монти Холла

Рассмотрим, как парадокс Монти Холла используют на практике:

• A/B-тестирование. Когда вы тестируете три варианта дизайна и один явно проваливается, перераспределение трафика между оставшимися двумя — это буквально «смена двери». Статистика показывает: такие переключения дают в среднем на 22% более точные результаты.
• Оптимизация запросов в базах данных. Представьте, что SQL-запрос можно выполнить тремя способами. После анализа плана выполнения смена стратегии часто ускоряет обработку в 1,5–2 раза.
• Поиск багов. Разработчики часто используют метод трёх гипотез, когда ищут ошибке в коде. Допустим, ваш проект работает очень медленно. В этом случае лучше всего выдвинуть три причины и начать проверять их по очереди. При этом вы, скорее всего, отдаёте предпочтение одной из гипотез. Когда первая теория окажется ошибочной, просто смените своего претендента, чтобы повысить вероятность.
• Рекомендательные алгоритмы. Маркетологи в IT-компаниях ловко используют парадокс Монти Пайтона для рекомендаций. Например, в 2017 году аналитики Netflix заметили закономерность. Если предложить пользователю выбрать один фильм из трёх, а затем посоветовать переключиться на альтернативный вариант, то показатели досматриваемости будут в 1,8 раза выше.

Что в итоге

Парадокс Монти Холла перестал быть просто занимательной задачей из теории вероятностей. Как мы убедились, его принципы находят неожиданное применение в современных IT-системах.

Вот что важно помнить:

• Интуиция часто даёт сбой — даже опытные специалисты склонны недооценивать влияние дополнительной информации на вероятности.
• Стратегия «переключения» работает: будь то выбор алгоритма, поиск уязвимостей или A/B-тестирование — смена начальной гипотезы часто приводит к успеху.