Фракталы: что это такое и какие они бывают

Есть в математике вещи, настолько завораживающие своей красотой, что на них можно смотреть вечно. Одно из таких чудес — фракталы. Это фигуры, которые рекурсивно воспроизводят сами себя, создавая причудливые узоры в двух- и трёхмерном пространствах. Но дело не только в узорах: за этими картинками кроется целый подход к исчислениям и описанию живого мира.

Содержание

• Что такое фрактал
• Виды фракталов
• Геометрические фракталы
• Алгебраические фракталы
• Стохастические фракталы
• Фрактальные изображения
• Фракталы в физике
• Фракталы в природе

Что такое фрактал

Фрактал — это фигура, обладающая свойством самоподобия. Объект называют самоподобным, если одна или более его частей похожа на его целое. При этом количество повторяющихся частей у фрактала стремится к бесконечности — этим он отличается от самоподобных геометрических фигур с конечным числом звеньев (предфракталов).

Термин «фрактал» ввёл в 1975 году американский математик Бенуа Мандельброт. За основу он взял латинское слово fractus, означающее «разделённый на части». Позже Мандельброт выпустил книгу «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature), в которой представил новый метод описания сложных природных объектов на основе фракталов. Обычные, или евклидовы, фигуры с этой задачей не справлялись, ведь в природе не существует прямых линий, треугольников, квадратов кругов и так далее.

Однако о концепции фракталов было известно задолго до первых работ Мандельброта. Первую такую фигуру, которая вошла в историю как «множество Кантора» (позже мы расскажем про неё подробнее), открыл Георг Кантор в 1883 году. На её основе математик продемонстрировал и самоподобие, и рекурсию.

Позже учёные обнаружили рекурсию в объектах живой природы: деревьях, молниях, облаках и других. Оказалось, что структура таких объектов подобна структуре их частей, а значит, их можно описать неким математическим законом и не пытаться изобразить квадратами, кругами и другими классическими геометрическими фигурами.

Читайте также:

Рекурсия вокруг нас: люди, соборы и капуста романеско

Сегодня модели на основе фракталов применяются в физике, биологии, медицине и других науках. А учёные продолжают находить закономерности, связанные с ними, в самых разных явлениях нашей Вселенной.

Виды фракталов

Фракталы принято делить на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические — строятся на основе исходной фигуры, которая определённым образом делится и преобразуется на каждой итерации.

Алгебраические — строятся на основе алгебраических формул.

Стохастические — образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров.

Далее мы подробно разберём каждый класс.

Геометрические фракталы

Эти фигуры основаны на прямых линиях, квадратах, кругах, многоугольниках и многогранниках. Рассмотрим несколько примеров от самого простого к сложному.

Множество Кантора

В 1883 году Георг Кантор — немецкий математик, автор теории множеств — придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова. Кантор взял произвольный отрезок и разделил его на две части, потом каждую — ещё на две и так далее:

Каждый этап деления прямых на две части называется итерацией.

Итерация — это повторение одного и того же действия, или, по аналогии с программированием, одно прохождение тела цикла. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей — четыре и так далее. Если повторять это несложное действие бесконечное количество раз и увеличить масштаб изображения, то мы увидим ту же самую картину, что и в самом начале. Это и есть визуальное воплощение самоподобия:

Снежинка Коха aka кривая Коха

Шведский математик Хельге Фон Кох в 1904 году описал кривую, воспользовавшись треугольником и методом самоподобия, в результате чего получилась фрактальная снежинка.

Ниже показаны четыре итерации построения такой фигуры. Слева изображены исходные кривые, а справа — получившаяся из этих кривых снежинка. Нетрудно заметить, что в снежинки идеально вписывается как равносторонний треугольник, так и сама кривая:

На какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора. Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов — бесконечность.

Ковёр, треугольник и кривая Серпинского

Польский математик Вацлав Серпинский брал за основу фрактала не только кривую, но и квадрат с треугольником.

Для начала рассмотрим, как «размножается» кривая Серпинского. При каждой итерации количество её копий увеличивается в четыре раза, а рисунок становится сложнее:

Треугольник же на каждом шаге дробится на три равные части:

Квадрат, или ковёр, Серпинского получается так же, как и треугольник, но исходная фигура делится на восемь квадратов. Уже на пятой итерации становится тяжело разглядеть отдельные квадраты:

Губка Менгера

Как уже говорилось ранее: геометрические фракталы могут строиться на основе многогранников, то есть быть объёмными.

Ковёр Серпинского в трёхмерном пространстве превратится в кубический многогранник. Такой фрактал называют губкой Менгера:

Если бы мы влетели внутрь такого фрактала и попытались приблизиться к любой из сторон, то заблудились бы и никогда из него не выбрались, потому что внутри губки Менгера скрыто бесконечное пространство! По такому же принципу можно смоделировать и трёхмерный треугольник Серпинского.

Дерево Пифагора

Следующую рекурсивную фигуру построил математик Альберт Босман в 1942 году. В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Полученный геометрический фрактал напоминает дерево, поэтому его и назвали деревом Пифагора.

Знакомым с алгоритмами читателям дерево Пифагора может напомнить другое, бинарное дерево. В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений (отрезков). Всё это — ещё одна иллюстрация самоподобия, о котором мы говорили ранее.

Алгебраические фракталы

Алгебраические фракталы, в отличие от геометрических, основываются на формуле, а не на фигурах, но также рекурсивно итерируются. Выглядят они ещё более причудливо, чем те, что мы рассмотрели выше.

Множество Мандельброта

В 1905 году французский математик Пьер Фату описал множество, которое в 1970-х было впервые смоделировано Бенуа Мандельбротом (с ним мы уже знакомы) с помощью компьютера на комплексной плоскости:

В основе такого множества лежит формула:

где Z и C — комплексные числа.

Остановимся на комплексных числах. Вы наверняка знаете, что извлекать квадратный корень из отрицательных чисел нельзя — это следует из того, что любое отрицательное число в квадрате является положительным.

Логика железная и справедливая, но лишь для действительных чисел. Если не переходить на строгий математический язык, то к действительным относят все целые и дробные числа (в том числе периодические), которыми мы пользуемся в повседневных расчётах: 1, 0, -56,7, 1/3, 5/6, и так далее.

Помимо действительных, в математике есть ещё большее множество комплексных чисел, которые имеют следующий вид:

где a и b — это вещественные числа,

а i — мнимая единица, равная √-1.

Вот здесь-то и ломается привычная арифметика.

«Что за ересь?! Нас ведь с пятого класса учили, что из отрицательных чисел квадратный корень не извлечь», — скажете вы и будете правы! Да, такая запись на первый взгляд кажется парадоксальной, и многие математики на первых порах с подозрением относились к подобной «магии». Но именно она в XVI веке помогла решить некоторые проблемные кубические уравнения. А потом комплексные числа нашли применение и в других областях, например в тригонометрии.

Возвращаемся к нашему Мандельброту. Небольшая шпаргалка, чтобы напомнить, о чём шла речь:

Суть фрактала Мандельброта та же, что и у предыдущих: на каждой новой итерации мы используем значение функции из предыдущего шага. В результате получаются невероятные картины!

Приближаясь к любым координатам множества Мандельброта, вы увидите всё новые и новые бесконечные узоры, которые напоминают изначальный вариант. Рассматривать и изучать такие фракталы можно бесконечно.

Ниже пример, на котором мы приблизились всего лишь к одной точке фрактала Мандельброта:

Множество Жюлиа

Множество, созданное французом Гастоном Жюлиа, также основывается на формуле Фату f (z) = z² + c и напоминает фрактал Мандельброта, но имеет некоторое математическое отличие, что влияет на конечный результат:

Если не углубляться в математические тонкости, можно сказать, что множество Мандельброта на каждой итерации использует новое значение параметра C, а Жюлиа оставил это значение на каждом новом цикле фиксированным. Поэтому при разных значениях C, фрактал Жюлиа можно визуализировать по разному, например так:

Стохастические фракталы

Если в геометрических и алгебраических фракталах формула постоянна, то в стохастических она меняется — и не один раз. Изменение может проходить как по конкретному закону, так и произвольно, но в обоих случаях это приводит к фантастическому визуальному эффекту!

Следующее изображение основано на нескольких фрактальных формулах:

С помощью сложных стохастических законов учёные могут воспроизводить структуры объектов живой природы. Добавляя отклонения на различных итерациях к таким фракталам, как дерево Пифагора, или снежинка Коха, мы можем получить изображение наклонившейся листвы или сгенерировать сколько угодно неповторимых снежинок.

Фрактальная графика

На принципе самоподобия основано целое направление в компьютерной графике. При таком подходе компьютер хранит не готовый объект, а лишь формулу его отрисовки, что значительно экономит память.

Таким образом, появляется возможность рисовать конкретные объекты и абстрактные 3D-модели, описывая лишь часть итогового изображения. Например, можно сгенерировать известный папоротник Барнсли, указав формулу для построения одной ветви, количество итераций и добавив хаотичные изменения на последующих итерациях:

Фракталы в физике

Принципы построения фракталов используются в физике, в таких разделах, как гидродинамика, физика плазмы, электродинамика и радиоэлектроника. Одно из самых заметных изобретений в этой области — фрактальная антенна, которая была разработана американским инженером Натаном Коэном в 1995 году.

Главное преимущество такой антенны заключается в её широком диапазоне рабочих частот. А ещё она занимает намного меньший размер, чем аналоги классической формы, и может выступать в качестве основы для подводных антенн.

Конструкция Коэна напоминает снежинку Коха:

В 2000-х подобные антенны размером 30 × 40 мм стали использовать в мобильных устройствах. А чуть позже инженеры научились строить антенны на основе фракталов Серпинского, кривых Пеано и того же фрактала Коха.

Фракталы в природе

Как уже было сказано ранее, стохастические фракталы подарили науке новый подход к описанию природных объектов и явлений. А всё потому, что горы, облака, молнии, реки, растения, клетки живых организмов и даже галактики обладают общим свойством самоподобия.

Вот, например, один из самых красивых фракталов в природе — капуста Романеско:

В реальной жизни фракталы встречаются практически на каждом шагу — достаточно выйти во двор оглядеться вокруг. Скажем, дерево Пифагора неслучайно получило своё название, ведь ветви деревьев ярче всего демонстрируют принцип самоподобия:

Вот ещё несколько примеров стохастических фракталов в листьях и растениях:

Вместо вывода: применение фракталов в жизни

Сегодня фракталы широко используются в самых разных областях — от математики до искусства:

• С их помощью описывают различные явления классической механики, гидродинамики, электродинамики и геофизики.
• В телекоммуникациях они позволяют моделировать электромагнитные поля в сотовой и спутниковой связи.
• В биологии — точно описывать структуру природных объектов, моделировать и предсказывать их поведение.
• Медицина использует фракталы для исследования внутренних процессов в организме человека, изучения сердечного ритма, работы кровеносных сосудов и нервной системы.
• В экономике на основе фракталов проводят анализ рынков и выявляют закономерности в поведении цен.
• В трёхмерной графике их используют для создания сложных текстур и моделей, таких как деревья, облака и морские волны.
• В искусстве и дизайне — когда нужно создать нестандартную «психоделическую» композицию, погрузить зрителя в новые измерения.

Это лишь одни из многих способов применения фракталов. Область математики, которая занимается их изучением, довольно молодая, поэтому мы продолжаем наблюдать новые открытия по сей день.