Что такое коллинеарность векторов и как её определить

Представьте, что вы разрабатываете приложение для построения маршрутов и хотите оптимизировать пути между зданиями. Программе нужно, например, выяснить, находятся ли библиотека, школа и больница на одной прямой. Если это так, можно избежать ненужных пересечений дорог и поворотов. В решении задачи вам поможет концепция коллинеарности.

Помимо программирования, коллинеарность применяется в линейной алгебре, геометрии, физике и других областях. В этой статье мы разберёмся, что это такое и как её определить.

Содержание

• Что такое коллинеарные векторы
• Условия коллинеарности векторов

• Первое условие: масштабное соотношение
• Второе условие: равное отношение
• Третье условие: нулевое векторное произведение

Эксперт

Пётр Емельянов

Эксперт Skillbox, CEO в Bloomtech, специалист по информационной безопасности и анализу данных. Опыт в IT — 20 лет.

Что такое коллинеарные векторы

Для знакомства с коллинеарными векторами нужно освежить в памяти два понятия: вектор и нулевой вектор.

Векторы — это направленные отрезки с определёнными началом и концом. Они могут обозначаться двумя заглавными буквами со стрелкой над ними — например, , где A — начало, а B — конец. Также можно использовать одну маленькую латинскую букву со стрелкой над ней — например, .

Если начало и конец совпадают, то такой вектор называется нулевым. Визуально он выглядит как точка, поскольку не имеет длины и определённого направления. Обозначается нулевой вектор так: .

Теперь, если мы разместим три или более точки на одной прямой, то они будут считаться коллинеарными. Такие точки можно соединить одной прямой линией. Слово «коллинеарность» происходит от латинского слова collineare — «направлять» или «располагать на одной линии».

С векторами немного иначе. Коллинеарными называют два ненулевых вектора, расположенных на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен каждому, поскольку считается параллельным любой прямой. Для обозначения коллинеарных векторов используется символ ∥. Например, если и  коллинеарны, то это записывается так: ∥ .

Коллинеарные векторы могут иметь одинаковую или разную длину, а их направления могут совпадать или быть противоположными. Например, два вектора, указывающие вправо на числовой прямой, коллинеарны. Также коллинеарными будут два вектора, направленные в противоположные стороны: вправо и влево или вверх и вниз. Если коллинеарные векторы имеют одно направление, то они называются сонаправленными. Они могут обозначаться знаком параллельности ∥ или двумя стрелками вверх ↑↑. Примеры записи: ∥ или ↑↑ .

Если коллинеарные векторы направлены в разные стороны, то их называют противоположно направленными. Их можно обозначить знаком параллельности ∥ и минусом перед вторым вектором — или двумя стрелками в противоположные стороны ↑↓. Примеры: ∥ или ↑↓ .

Условия коллинеарности векторов

Посмотрите на изображение ниже и найдите пары сонаправленных и противоположно направленных коллинеарных векторов. Скорее всего, благодаря фону в клеточку вы легко справитесь с этой задачей.

Если визуально определить коллинеарность векторов не получается, вы можете воспользоваться алгебраическими условиями: масштабным соотношением, отношением координат и векторным произведением. Достаточно, чтобы хотя бы одно из этих условий указывало на коллинеарность.

Первое условие: масштабное соотношение вектора

Векторы и  будут коллинеарны, если мы сможем умножить один из них на некоторое число и получить второй вектор. Формула: , где k — скалярное число (множитель). Если множитель k положительный, то векторы направлены в одну сторону; если отрицательный — в противоположные.

Предположим, у вектора координаты (x₁, y_1​), а у  — (x₂, y₂). Для проверки нам нужно убедиться, что координаты векторов пропорциональны друг другу:

• находим масштабный коэффициент ;
• проверяем, чтобы полученный коэффициент подходил для второй координаты: .

Если это условие выполняется, то  и  можно считать коллинеарными. Рассмотрим это на примере.

Пусть у вектора будут координаты (3​, 4), а у вектора  — (6, 8). Вычислим масштабный коэффициент k: .

Выполним масштабирование одного вектора в другой.

• проверим первую координату: ;
• проверим вторую координату: .

Получается, если мы умножим масштабный коэффициент k на координаты вектора , то получим координаты вектора . Поскольку условие масштабного соотношения выполняется, векторы и  коллинеарны.

Второе условие: равное отношение координат

Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны. В отличие от масштабного соотношения, здесь мы напрямую сравниваем соотношения координат, а не ищем конкретное скалярное число для преобразования одного вектора в другой.

Если векторы с координатами (x₁, y_1​, z₁) и  (x₁, y₁​, z₂) коллинеарны, то будет выполняться следующее условие:

Можно сделать наоборот: разделить координаты второго вектора на координаты первого — здесь, как и в условии масштабного соотношения, это значение не имеет. Перевёрнутая запись будет такой:

Выберем два вектора в трёхмерном пространстве: = (2, 3, 4) и  = (6, 9, 12). Теперь вычислим соотношения соответствующих координат:

Найденные соотношения равны трём, что подтверждает пропорциональность координат одного вектора координатам другого. Это указывает на то, что и  коллинеарны и расположены на одной или на параллельных прямых.

Перейдём к задаче на закрепление. У вас есть два вектора в трёхмерном пространстве: = (2, 6, 10) и  = (4, 12, 20). Вычислите соотношения для соответствующих координат этих векторов и определите, являются ли они коллинеарными.

Решение

Определяем соотношения для соответствующих координат:

Все найденные соотношения равны двум. Это подтверждает пропорции соответствующих координат и означает, что векторы коллинеарны.

Третье условие: нулевое векторное произведение

Два ненулевых вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Этот метод может показаться сложным для новичков, поскольку требует знаний о векторном произведении и умения вычислять определители матриц. Мы объясним этот метод на примере, чтобы вы могли в общих чертах понять его основные принципы.

В общем виде формула для определения коллинеарности двух векторов и  выглядит так:  ×  = . Предположим, у нас есть = (2, 3, 4) и  = (4, 6, 8). Вычислим векторное произведение и проверим, равно ли оно нулевому вектору.

Векторное произведение — это операция с двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Для наглядности выставьте большой, указательный и средний пальцы на правой руке. Указательный и средний пальцы представляют исходные векторы, а большой палец будет указывать направление вектора, полученного в результате векторного произведения.

Для вычисления векторного произведения нужно найти специальное число — определитель, который вычисляется для матрицы с равным количеством строк и столбцов. В нашем случае матрица будет такой:

где , и  — это единичные векторы, располагающиеся вдоль осей x, y и z.

Теперь для получения результирующего вектора используем следующую формулу: 

Подставляем координаты наших векторов:

Поочерёдно вычисляем каждую компоненту:

• значение для : ;
• значение для : ;
• значение для : .

Объединяем компоненты и получаем результат векторного произведения:

Мы получили нулевой вектор, что означает, что и  коллинеарны.