Что такое действительные числа и для чего они нужны

Почти всё вокруг нас можно посчитать, измерить, закодировать и представить в виде чисел. В математике есть множество чисел, которыми можно описать практически все окружающие нас предметы и явления. Они называются действительными, или же вещественными.

В этой статье рассказываем, что такое действительные числа, откуда они взялись, где применяются, чем они отличаются от других и как представлены в памяти компьютера.

Содержание

• Определение действительных чисел
• Координатная прямая и действительные числа
• Представление действительных чисел
• Вещественные числа в памяти компьютера

Определение действительных чисел

Действительные (вещественные) числа — это все числа, которые можно представить на числовой прямой. К ним относятся:

• Натуральные числа (N) — это числа, которые мы используем во время порядкового счёта: 1, 2, 3, 4, 5, …
• Целые числа (Z) — все натуральные числа, отрицательные числа и ноль: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
• Рациональные числа (Q) — это дроби, которые можно записать как отношения двух целых чисел: ½, 0,5, −0,3333, …
• Иррациональные числа (I) — это числа с бесконечным не повторяющимся значением после запятой — например, число π, √2.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Посмотрите на схему ниже и обратите внимание, как одно множество связано с другими:

Эту схему можно записать в виде математического выражения N ∈ Z ∈ Q ∈ R, где ∈ означает «относится». То есть натуральное множество относится к целому, целое — к рациональному, а рациональное — к действительному.

Координатная прямая и действительные числа

Наглядно представить действительные числа можно с помощью координатной прямой.

Координатная прямая — это своеобразная карта, показывающая расположение чисел на горизонтальной прямой. Её используют для демонстрации расположения чисел друг относительно друга.

У координатной прямой есть несколько важных особенностей:

• Точка отсчёта. По центру координатной прямой есть точка, которая обозначается как ноль (0). Это отправная точка, относительно которой отмечают другие числа. Слева находятся числа, которые меньше нуля, справа — больше.
• Направление. Числа на координатной прямой увеличиваются слева направо.
• Равные расстояния. Все числа на координатной прямой располагаются с равными промежутками друг между другом. Например, между 0 и 1 расстояние будет такое же, как между −1 и 0.
• Дроби и иррациональные числа. На координатной прямой можно отобразить не только целые числа, но и дробные (0,75, ½), а также иррациональные (√2, π).

На координатной прямой можно отобразить только действительные числа. Комплексные числа на прямой разместить не получится, потому что у них есть дополнительная, «мнимая» часть, которая требует отдельной оси.

Для примера отобразим некоторые действительные числа на координатной прямой:

Представление действительных чисел

Есть несколько способов представления действительных чисел. Чаще всего встречается десятичное представление — когда число записывают в десятичной форме с использованием целой и дробной части.

Десятичное представление бывает конечным или бесконечным. В первом случае после запятой есть фиксированное количество чисел, а во втором — числа после запятой никогда не заканчиваются.

Например, число 3,14159265… — десятичное представление числа π (Пи).

Рациональные числа действительного множества можно записать в виде дроби. В общем виде дробь записывается как отношение двух целых чисел m и n: . Число m называется числителем, а n — знаменателем.

Например, рациональное число 0,5 можно перевести в дробный вид. Получится дробь . А вот иррациональное число 3,14159265… записать в виде дроби не выйдет.

Большие действительные числа можно записать в экспоненциальном виде — это представление числа в виде мантиссы и порядка. Такой способ позволяет сократить запись числа, например, если в нём много нулей.

Рассмотрим, как формируется экспоненциальная запись на примере числа 1 000 000 (один миллион):

• Старший разряд в 1 000 000 — единица (1). Это и есть мантисса числа.
• Теперь разложим 1 000 000 как степень десяти. Получится 1 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁶. Степень указывает на количество нулей после мантиссы.
• Объединим два этих числа в экспоненциальной записи и получим 1 000 000 = 1 × 10⁶.

Проверка: если возвести 10 в 6-ю степень и умножить на 1, получим 1 000 000. Следовательно, записи 1 × 10⁶ и 1 000 000 — идентичны.

Читайте также:

Какое число самое большое в мире?

Вещественные числа в памяти компьютера

Все числа в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, то есть состоят из нулей и единиц. В языках программирования для хранения вещественных чисел предусмотрены типы данных float и double. Они представляют числа с помощью экспоненциальной записи. Если перевести число в битовый вид, получится запись, состоящая из трёх частей: положительного или отрицательного знака, порядка (экспоненты) и мантиссы.

Читайте также:

Числа с плавающей точкой: что это такое и как они работают

Чтобы быстрее это понять, разберём, как хранится в памяти компьютера округлённая до сотых запись числа Пи (3,14).

Для начала заполним знаковый бит. Если число положительное, то он будет равен нулю, если отрицательное — единице. 3,14 — положительное число, значит, в 31-й индекс вписываем 0:

Теперь вычислим двоичную мантиссу. Для этого сначала переведём целую часть в двоичное представление: 3₁₀ = 11₂. То же самое сделаем с дробной частью: 0,14₁₀ = 0,0010001111010111000011₂.

Получившееся значение переведём в экспоненциальный вид — так, чтобы в целой части была одна единица. После преобразований число 11,0010001111010111000011₂ превратится в 1,10010001111010111000011₂ × 2¹.

1,10010001111010111000011 — это мантисса, а основание равно двум, потому что мы имеем дело с двоичной системой счисления. Откидываем целую часть, а всё остальное вписываем в индексы с 22-го по 0-й:

Осталось найти двоичную экспоненту — то, на что умножается наша мантисса. Для этого складываем степень основания 1 с числом 127: 1 + 127 = 128. 127 — это константное значение смещения экспоненты. Оно прибавляется, чтобы не тратить бит на знак степени у экспоненты.

Теперь переводим получившееся значение в двоичный вид и вписываем его в оставшиеся индексы — с 30-го по 23-й: 128₁₀ = 10000000₂.

В итоге получим 0 10000000 10010001111010111000011. Именно так число 3,14 хранится в памяти компьютера.

Странности при работе с вещественными числами

Предыдущий пример — обобщённый. Он нужен для понимания того, как компьютер работает с вещественными числами. В реальности при работе компьютера с действительными числами часто возникают погрешности.

Например, если в языке Java сложить числа 0,2 и 0,1, то консоль выдаст такой результат:

0,30000000000000004

Но постойте, мы ведь точно знаем, что 0,1 + 0,2 = 0,3. В чём же дело? Такой странный ответ получился из-за особенностей двоичной арифметики.

Перед тем как сложить числа 0,2 и 0,1, компьютер сначала переводит их в двоичный вид. При этом у некоторых десятичных чисел нет точного значения в двоичной системе счисления. 0,2 и 0,1 — как раз из таких чисел:

• 0,2₁₀ = 0,00110011001100…₂;
• 0,1₁₀ = 0,00011001100110…₂.

Так как нет возможности хранить в памяти бесконечное количество цифр, компьютер округляет числа — поэтому при сложении получаются неожиданные результаты.

Этой проблемы можно избежать, если использовать специальные типы данных, которые предназначены специально для десятичных чисел. Например, в Java для этого есть класс BigDecimal. Эти типы данных требуют больше памяти и работают медленнее стандартных типов float и double, но зато результат всегда будет предсказуемым.

Из-за этой особенности банковские приложения вовсе не используют десятичные числа для учёта денег, а хранят все данные в целочисленных копейках. Например, если на счету пользователя лежит 100,6 рублей, то в коде приложения эта сумма будет равна 10 060 копейкам. Благодаря этому пользователи банковского приложения могут быть уверены, что при выполнении арифметических операций содержимое их счёта не округлится в меньшую сторону.

Что нужно знать о действительных числах

Сегодня вы узнали, что такое множество действительных (вещественных) чисел. Повторим изученное:

• Действительные (вещественные) числа — это все целые, натуральные, рациональные и иррациональные числа.
• Ноль — тоже действительное число.
• Термины «действительные числа» и «вещественные числа» — синонимы.
• На координатной прямой находятся все действительные числа.
• Разные множества действительных чисел можно представить в десятичной, целой, дробной или экспоненциальной форме.
• Экспоненциальная форма — это значимая часть, называемая мантиссой, умноженная на основание системы счисления в определённой степени, называемой порядком, где порядок — это показатель сдвига плавающей запятой.
• В памяти компьютера числа хранятся в экспоненциальной двоичной форме. Она состоит из знакового бита, двоичной экспоненты и мантиссы.
• При работе с действительными числами на компьютере будьте аккуратны, чтобы соблюсти точность вычислений.