Числа Фибоначчи: для чего нужны и почему так популярны

Тысячу лет назад люди увлекались вовсе не нейросетями, а числами и их свойствами. Так, в XII веке главным трендом были загадочные числа Фибоначчи, следы которых и сейчас можно найти практически везде: от расположения лепестков на дереве до формы ураганов и галактик.

Давайте узнаем, откуда появились эти числа, зачем они нужны и что нам с ними делать.

Что за числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, которые задаются по определённому правилу. Оно звучит так: каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Первые два числа заданы сразу и равны 0 и 1.

Вот как выглядит последовательность Фибоначчи:

Длиться этот числовой ряд может бесконечно, но для большинства задач обычно хватает первых десяти чисел:

• первое — 0;
• второе — 1;
• третье — 1;
• четвёртое — 2;
• пятое — 3;
• шестое — 5;
• седьмое — 8;
• восьмое — 13;
• девятое — 21;
• десятое — 34.

Ну умеем мы складывать числа друг с другом, и что с того? Можно придумать ещё несколько таких же последовательностей — например, где следующее число будет равно сумме трёх или четёрых предыдущих. Как это пригодится в науке и технике? Но обо всём по порядку.

Для начала — заберёмся чуть глубже в историю.

Как появились числа Фибоначчи

Первым эту последовательность описал итальянский учёный Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи. Он жил в XII веке и усердно изучал работы античных и индийских математиков. В них Леонардо нашёл много полезных знаний — например, что десятичная система удобнее, чем римская нотация, и что по ней проще считать.

Полученные знания Леонардо систематизировал в своём главном труде — «Книге абака». Там же появилось и первое упоминание о числах Фибоначчи — как ни странно, в контексте решения задачи о кроликах:

Конечно, решить эту задачу не так просто, потому что на размножение кроликов влияет много факторов — например, они могут умереть или убежать. Поэтому Леонардо ограничил задачу такими условиями:

• кролики не могут умереть;
• они достигают половой зрелости за месяц;
• самки беременны ровно месяц;
• кролики всегда рождаются парами: самка + самец.

Теперь задачу вполне можно решить: ответом на неё как раз будет последовательность Фибоначчи. Логика такая: каждая взрослая пара кроликов будет создавать ещё одну пару через месяц после рождения. Эти кролики-дети будут расти месяц, а потом размножаться с другими кроликами. И так двенадцать месяцев.

Чуть лучше этот процесс можно представить с помощью этой схемы:

Смотрите, первая пара кроликов ещё совсем молодая, поэтому пока не может дать потомство. Но уже через месяц кролики подрастут и смогут размножаться — соответственно, на третий месяц пар будет уже две. Дальше количество пар будет равняться сумме пар за два предыдущих месяца, и последовательность примет уже знакомый нам вид:

Получаем ответ на задачу: 233 пары кроликов.

И в этом весь смысл чисел Фибоначчи — считать кроликов в загоне? Нет! Оказывается, Леонардо лишь приоткрыл дверь в возможности этой последовательности. Основное применение она нашла в математике, архитектуре и искусстве.

Как связаны числа Фибоначчи и золотое сечение

Архитекторы античных и средневековых городов много времени уделяли идеальным пропорциям. Они хотели создавать красивые постройки, которыми бы наслаждались все жители города. Так появилось понятие золотого сечения.

Золотое сечение — это число, которое помогает делить вещи на красивые части. Оно равно примерно 1,618. Золотое сечение можно найти так: если взять два отрезка чего-то, то большой отрезок должен быть в 1,618 раза больше маленького отрезка, а вся вещь должна быть в 1,618 раза больше большого отрезка. Это число называется «фи» и пишется так: φ.

Читайте также:

Что такое золотое сечение

Если коротко, когда мы слышим о золотом сечении — речь идёт о чём-то привлекательном и пропорциональном. Например, с помощью золотого сечения спроектированы знаменитые архитектурные сооружения прошлого:

Вернёмся к числам Фибоначчи. Оказывается, отношение каждого числа к предыдущему примерно равно значению золотого сечения. Правда, на первых числах последовательности этого не будет заметно:

Но если мы возьмём, например, тридцать первое число и поделим на тридцатое, то получим следующее:

И ещё пара тысяч знаков после запятой. Оно очень похоже на значение золотого сечения, но всё же не равно ему точно. А чем дальше мы идём по числам, тем ближе к нему будет приближаться это отношение.

Золотое сечение используется не только в архитектуре, но и, например, в фотографии, живописи и дизайне. Даже некоторые интерфейсы сайтов сделаны по этим принципам:

Но и на этом применение последовательности Фибоначчи не заканчивается. Дальше мы узнаем, как эти числа использует сама природа и какое применение они нашли в программировании.

Где используются числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи нашли своё применение не только в математике, но и в других науках и даже в творчестве. Они описывают природные явления и помогают людям больше зарабатывать на акциях. Давайте посмотрим поближе на всё это.

Числа Фибоначчи в природе

Первое, на чём можно проследить последовательность Фибоначчи, — это растения, а конкретно — подсолнух. Скорее всего, вы видели его в детстве и, возможно, даже пробовали жарить семечки на сковородке.

Оказывается, семена внутри цветка расположены в виде двух рядов спиралей — коротких и длинных. Первые наклонены по часовой стрелке, а вторые — против. Смысл в том, что количество коротких спиралей в подсолнухе равно 21, а длинных — 34. А это как раз соседние числа в последовательности Фибоначчи.

Ещё числа Фибоначчи можно встретить, если посмотреть на стебли и ветви деревьев. Каждая ветвь создаёт новые ветви, количество которых равно следующему числу в последовательности Фибоначчи.

Если говорить о золотом сечении, то по нему закручиваются панцири улиток, вихри ураганов и даже некоторые галактики. Если ещё не убеждены, что мы живём в матрице, то вот доказательства:

Как видите, природа прямо-таки пронизана магией чисел Фибоначчи, причём на всех уровнях: от семян подсолнуха до далёких галактик. Поэтому не стоит удивляться, если вдруг встретите эту последовательность где-нибудь в привычном для вас месте.

Числа Фибоначчи в искусстве и дизайне

Мы уже рассказали, как некоторые архитекторы древности и античности использовали числа Фибоначчи для создания известных построек. Давайте теперь поговорим и о других сферах искусства.

Часто художники используют золотое сечение, чтобы эстетично располагать объекты на картине и создавать гармоничные образы. Фотографы пользуются такими же хитростями:

Ещё числа Фибоначчи помогают создавать более пропорциональные лица, фигуры людей и другие элементы. Так картины приобретают реалистичный вид:

Дизайнеры тоже подхватили эту идею и начали использовать золотое сечение в своих макетах. Например, по этим правилам можно создавать более приятные глазу логотипы. В той же Apple, к слову, давно поняли, что золотое сечение — это круто. В её фирменном знаке как раз используются повторяющиеся спирали, навеянные числами Фибоначчи.

Древние греки одними из первых углубились в эту тему. Для них золотое сечение было символом красоты и гармонии. На этих принципах они даже разработали понятие канонических пропорций, которые легли в основу, например, известных античных скульптур богов, героев и атлетов.

Самый яркий пример — статуя Давида работы Микеланджело.

Однако золотое сечение — это вовсе не панацея и универсальный канон красоты. Хотя некоторые исследования показывают, что существует сходство между золотым сечением и аспектами человеческого тела, такими как пропорции лица и тела. Но прямых доказательств нет, потому что красота — неизмерима.

Числа Фибоначчи в финансах и программировании

А теперь давайте разберёмся, как последовательность Фибоначчи себя чувствует в естественной среде обитания — то есть в сферах, связанных с логикой и вычислениями.

Финансы и биржевая торговля. Трейдеры используют числа Фибоначчи для анализа изменений на рынке. Они помогают определить, когда цена акции может вырасти или упасть.

Трейдеры применяют эту последовательность в виде так называемых Фибоначчи-уровней, которые строятся на графике, чтобы определить потенциальные возможности для роста и падения стоимости акции.

Уровни Фибоначчи помогают трейдерам определить места, где цена может расти или падать. Чаще всего это происходит на трёх уровнях — 38,2%, 50% и 61,8%. Однако это работает не всегда точно, потому что на цену могут повлиять случайные факторы — например, внезапная пандемия.

Программирование. Здесь последовательность Фибоначчи используют для создания криптографических алгоритмов и 3D-моделей. А ещё, конечно же, лекторы часто добавляют в свои курсы задачки на нахождение этих чисел 🙃

Вот как алгоритм выглядит на языке Python. Функция принимает на вход номер числа в последовательности, а выдаёт — само число Фибоначчи.

def fib(n):
  if n in (1, 2):
    return 1
  return fib(n - 1) + fib(n - 2)

print (fib(10)) # Выведет 55

Работает функция так:

• Получает на вход номер числа в последовательности Фибоначчи, которое мы хотим найти.
• Далее смотрит на базовые случаи — первое или второе число последовательности. Тогда функция сразу возвращает единицу.
• Если номер числа Фибоначчи больше двух, алгоритм возвращает сумму двух предыдущих чисел последовательности — или значение этой же функции, но с меньшими аргументами. Это называется рекурсией.
• Функция будет вызывать сама себя, пока не встретится базовый случай. Тогда она передаст значение по цепочке вверх и рекурсия закончится.

Специалисты по криптографии используют числа Фибоначчи, чтобы генерировать псевдослучайные числа. Приставка «псевдо» используется потому, что эти числа не являются по-настоящему случайными и с какого-то момента начинают повторяться.

Генераторы псевдослучайных чисел применяют для создания ключей шифрования, криптографических хеш-функций и протоколов. Смысл в том, что последовательность Фибоначчи обладает свойством непредсказуемости и значения функций не повторяются до определённого момента.

Вместо заключения

Когда мы готовили этот материал, наш редактор вспомнил диалог из старой детской книжки «В лабиринте чисел» — кажется, он идеально подходит для финала статьи о числах Фибоначчи.

Приводим его полностью: