Свойства степеней и действия с ними: формулы и примеры

Представьте, что вам надо записать математическое выражение, в котором число умножается само на себя 50 раз. На запись такого выражения понадобится много времени, но можно воспользоваться степенью числа, а сэкономленное время потратить на решение такого большого выражения :) В этой статье рассказываем про степени чисел, их свойства и области применения.

Содержание

• Что такое степень числа
• Свойства степеней
• Умножение и деление степеней
• Сложение и вычитание степеней
• Степень нуля и единицы
• Степени в реальной жизни

Что такое степень числа

Степень числа — это способ кратко записать умножение числа само на себя несколько раз. Например, если мы возводим число в степень 3, то это значит, что надо умножить его на себя три раза. В общем виде формула выглядит так:

В ней:

• a — основание степени;
• n — показатель степени.

Например, посчитаем 2³:

Свойства степеней

Разберём свойства степеней, которые помогут упрощать большие выражения и быстрее находить значения.

Основное свойство степени с натуральным показателем

Натуральный показатель — это показатель степени, который представлен натуральным числом. Например, 1, 2, 3, 4, … и далее. Согласно основному свойству степени с натуральным показателем, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. В общем виде формула выглядит так:

В ней:

• a — основание;
• n и m — показатели.

Теперь умножим 3² на 3⁴ и воспользуемся основным свойством степени, чтобы не пришлось возводить в степень каждый множитель:

Основное свойство степени с рациональным показателем

Рациональный показатель — это показатель степени, который представлен рациональным числом, то есть в виде дроби , в которой m и n — целые числа,
а .

Степень с рациональным показателем  для числа a можно выразить как корень n-й степени из числа a, возведённого в степень m:

Пример:

Умножение и деление степеней

Произведение степеней с одинаковым основанием:

Пример:

Произведение разных оснований в одинаковой степени:

Пример:

Деление степеней с разным основанием, но одинаковыми показателями:

Пример:

Деление степеней с одинаковым основанием:

Пример:

При возведении степени в степень, показатели умножаются:

Пример:

Сложение и вычитание степеней

Сложение и вычитание степеней с одинаковым основанием и показателем:

Пример:

Если основания одинаковые, но показатели разные, то надо отдельно вычислить степени и затем выполнить сложение или вычитание:

Степень нуля и единицы

У степени нуля и единицы есть несколько особых свойств:

• Ноль в любой положительной степени всегда будет равен нулю:

• Единица в любой степени всегда равна единице:

• Единица в нулевой степени равна единице:

• Ноль в нулевой степени (0⁰) — неопределённое выражение. Математики пока ещё не договорились, чему равно это выражение.

Степени в реальной жизни

Степени чисел находят широкое применение во многих областях нашей жизни. Они позволяют описывать и моделировать процессы, связанные с быстрым ростом или уменьшением величин. Благодаря этому мы можем эффективно работать с большими и малыми числами, что особенно важно в современных технологиях и науке.

Площадь и объём

Чаще всего мы встречаем степени во время расчётов площади и объёма. Например, площадь квадрата со стороной a — a², а объём куба с такой же стороной — a³.

Компьютерная техника

В информатике объёмы данных измеряются в степенях двойки.

Например:

• 1 КБ = 2¹⁰ байт = 1024 байт.
• 1 МБ = 2²⁰ байт = 1 048 576 байт.

Финансы

С помощью степени можно рассчитать сложные проценты. Например, узнать, сколько денег получится заработать с банковского вклада, используя формулу:

В ней:

• S — будущая сумма;
• P — первоначальная сумма;
• r — процентная ставка в десятичной форме;
• n — количество периодов.

Так, если вложить 1000 рублей под 5% годовых на три года, то получится заработать чуть больше 157 рублей:

Эпидемиология

Рост числа инфицированных при эпидемиях может быть экспоненциальным. Если каждый больной заражает двух человек, то число инфицированных растёт по формуле:

В ней:

• N₀ — начальное число инфицированных;
• n — число периодов передачи.

Если у нас изначально будет 10 заражённых, то через пять периодов заразятся 320 человек:

Что запомнить

• Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.
• Основные свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.

• Рациональные показатели связаны с корнями числа.
• Степени широко используются в различных сферах: компьютерных науках, финансах и эпидемиологии.